Statistik >> Aritmetisches Mittel - Varianz - Standardabweichung

Berechnung von: Arithmetisches Mittel - Varianz - Standardabweichung


Die drei Begriffe Arithmetisches Mittel, Varianz und Standardabweichung wurden in unserem Statistik Lexikon bereits kurz definiert. Hier geht es darum, die entsprechende Werte anhand verschiedener Beispiele zu ermitteln. Denn es gilt zu beachten, ob die Berechnung aus einer Urliste aus einer Häufigskeitstabelle (ohne Klassen) oder einer Häufigkeitstabelle (mit Klassen) erfolgt.


1. Berechnung aus einer Urliste
Ein Schüler braucht an 5 Tagen 12,11,14,16 und 15 Minuten zur Schule

Berechnung Aritmethisches Mittel:
Berechnung der Varianz:
Bei der Berechnung der Varianz wird von jedem Wert aus der Urliste das Arithmetische Mittel abgezogen - die daraus folgende Summe wird quadriert und mit den entsprechenden anderen Werte addiert. Das ganze wird dann nochmal durch die Anzahl der Daten (5) geteilt.


Berechnung der Standardabweichung:
Die Standardabweichung wird berechnet, indem aus der Varianz die (quadtratische) Wurzel gezogen wird.

2. Berechung aus einer Häufigskeitstabelle ohne Klassen
Der Schüler aus unserem obigen Beispiel ist ein schlechter Schüler. Die Lehrer haben 100 Tage lang festgehalten, wieviele Hausaufgaben er pro Tag vergessen hat (er hat jeden Tag mehrere Fächer). Die folgende Häufigskeitstabelle zeigt, dass er beispielsweise an 20 Tagen jeweils eine Hausaufgabe vergessen hat.

Vergessen Hausaufgaben pro Tag Anzahl der Tage
1 20
2 30
3 30
4 10
5 10

Berechnung Arithmetisches Mittel:
Mit der Berechnung des arithemtischen Mittels soll ermittelt werden, wie viele Hausaufgaben unserer Schüler im Durchschnitt pro Tag vergißt. Deswegen werden die vergessenen Hausaufgaben pro Tag mit der Anzahl der entsprechenden Tage multipliziert. Anschließend werden alle Werte summiert und durch die Anzahl aller Tage (100) dividiert.
Berechnung Varianz:
Erklärung: Vergessen Hausaufgaben pro Tag - Arithmetisches Mittel (2.6). Das ganze wird quadriert und mit der jeweilgen Anzahl der Tage multipliziert. Hat man alles summiert, wird der ganze Kram wieder durch die Anzahl der Tage (100) geteilt.
Berechnung der Standardabweichung:
Die Standardabweichung wird berechnet, indem aus der Varianz die (quadtratische) Wurzel gezogen wird.

3. Berechung aus einer Häufigskeitstabelle mit Klassen
Für die Berechnung von Arithmetischen Mittel, Varianz und Standardabweichung aus einer Häufigkeitstabelle mit Klassen ist eine Häufigkeitstabelle gegeben, die über die Lebensdauer von Energiesparlampen (die Werte sind frei erfunden) Auskunft gibt.

Lebensdauer (in Jahren) Anzahl der Energiesparlampen
0 bis unter 2 50
2 bis unter 4 20
4 bis unter 6 6
6 bis unter 8 2
8 bis unter 10 1

Bestimmung der jeweiligen Klassenmitte:
Um Arithmetisches Mittel usw. bestimmen zu können, muss jeweils eine Klassenmitte gebildet werden.

Lebensdauer (in Jahren) Klassenmitte Anzahl der Energiesparlampen
0 bis unter 2 1 50
2 bis unter 4 3 20
4 bis unter 6 5 6
6 bis unter 8 7 2
8 bis unter 10 9 1

Jetzt rechnet man - analog zum zweiten Beispiel (Häufigkeitstabellen ohne Klassenmitte) - weiter. Beispielhaft wird hier nochmal das Arithmetische Mittel berechnet.

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